(floyd)佛洛伊德算法

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}

d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])(k,i,j∈[1,n]

赋值号左侧d[i][j]怎么让大伙儿要计算的第k阶段是i和j之间的最短路径长度。在这里,并能 确保赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值是上一阶段(k-1阶段)的值。前面就让分析过了,在新的d[i][j]算出就让,d[i][j]元素保留的值的确怎么让上一阶段的旧值。但至于d[i][k]和d[k][j]呢?大伙儿无法选择 这有另4个元素是落在白色区域(新值)还是灰色区域(旧值)。好在有从前一根重要的性质,dp[k-1][i][k]和dp[k-1][k][j]是不用在第k阶段改变大小的。也怎么让说,凡是和k节点相连的边,在第k阶段的值全是会变。怎么简单证明呢?大伙儿能只能把j=k代入就让的d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])方程中,即:

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利用滚动数组改写后的Floyd算法代码如下:

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        }

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也怎么让说在第k-1阶段和第k阶段,点i和点k之间的最短路径长度是不变的。相同能只能证明,在这有另4个阶段中,点k和点j之间的的最短路径长度也是不变的。怎么让,对于使用滚动数组的转移方程d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])来说,赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值全是上一阶段(k-1阶段)的值,能只能放心地被用来计算第k阶段时d[i][j]的值。

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再次观察动态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]),能只能发现每有另4个第k阶段的状况(d[k][i][j]),所依赖的全是前一阶段(即第k-1阶段)的状况(如d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]和d[k-1][k][j])。

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        for(int i = 1; i <= n; i++) {

d[k][i][k]

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4

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            for(int j = 1; j <= n; j++)

= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][k])

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上图描述了在前面最初试的Floyd算法中,计算状况d[k][i][j]时,d[k-1][][]和d[k][][]这有另4个二维数组的状况(d[k-1][][]表示第k-1阶段时,图中两点之间最短路径长度的二维矩阵;d[k][][]表示第k阶段时,图中两点之间最短路径长度的二维矩阵)。红色含高箭头的有向线段指示了规划方向。灰色表示就让算过的数组元素,白色代表还未算过的元素。就让d[k-1][][]和d[k][][]是有另4个相互独立的二维数组,怎么让利用d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]和d[k-1][k][j](皆存在上边的二维数组中)来计算d[k][i][j]时如此 任何大问题。

上图是使用滚动数组,在第k阶段,计算d[i][j]时的状况。此时,就让使用d[][]这个 二维数组作为滚动数组,在各个阶段的计算中被重复使用,怎么让数组中表示阶段的那一维也被撤销了。在这图中,白色的格子,代表最新被计算过的元素(即第k阶段的新值),而灰色的格子中的元素值,我我真是保存的还是上一阶段(即第k-1阶段)的旧值。怎么让,在新的d[i][j]还未被计算出来时,d[i][j]中保存的值我我真是就对应就让如此 用滚动数组时d[k-1][i][j]的值。此时,动态转移方程在隐藏掉阶段索引后就变为:

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从前大伙儿就能只能编写出最为初步的Floyd算法代码:

图中共有n个点,标号从1结束了了到n。怎么让,在这里,k能只能认为是动态规划算法在进行时的一种生活层次,就让称为“松弛操作”。d[1][i][j]表示只使用1号点作为上边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度;d[2][i][j]表示使用1号点到2号点中的所很糙作为上边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度;d[n-1][i][j]表示使用1号点到(n-1)号点中的所很糙作为上边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度d[n][i][j]表示使用1号到n号点时,点i到点j之间的最短路径长度。有了状况的定义就让,就能只能根据动态规划思想来构建动态转移方程。

        for(int j = 1; j <= n; j++)

                d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]);

        for(int i = 1; i <= n; i++)

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    }

            for(int j = 1; j <= n; j++) {

    for(int k = 1; k <= n; k++)

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“只能使用第1号到第k号点作为上边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度。”

       动态转移的基本思想能只能认为是建立起某一状况就让状况的一种生活转移表示。按照前面的定义,d[k][i][j]是一种生活使用1号到k号点的状况,能只能想最好的办法把这个 状况通过动态转移,规约到使用1号到(k-1)号的状况,即d[k-1][i][j]。对于d[k][i][j](即使用1号到k号点中的所很糙作为上边媒介时,i和j之间的最短路径),能只能分为一种生活状况:(1)i到j的最短路不经过k;(2)i到j的最短路经过了k。不经过点k的最短路状况下,d[k][i][j]=d[k-1][i][j]。经过点k的最短路状况下,d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。怎么让,综合上述一种生活状况,便能只能得到Floyd算法的动态转移方程:

                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

    for(int k = 1; k <= n; k++) {

怎么让,通过这篇文章的分析,大伙儿能只能发现,Floyd算法的的确确是一种生活典型的动态规划算法;理解Floyd算法,并能只能帮助大伙儿进一步理解动态规划思想。

= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+0)

d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])(k,i,j∈[1,n]

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最后,d[n][i][j]怎么让所要求的图中所有的两点之间的最短路径的长度。在这里,并能 注意上述动态转移方程的初始(边界)条件,即d[0][i][j]=w(i, j),也怎么让说在不使用任何点的状况下(“松弛操作”的最初),两点之间最短路径的长度怎么让两点之间边的权值(若两点之间如此 边,则权值为INF,且我比较偏向在Floyd算法中把图用邻接矩阵的数据形状来表示,就让便于操作)。当然,还有d[i][i]=0i∈[1,n]

void floyd() {

几乎所有介绍动态规划中最为著名的“0/1背包”大问题的算法书籍中,总要进一步介绍利用滚动数组的技巧来进一步减少算法的空间复杂度,使得0/1背包只并能 使用一维数组就能只能求得最优解。而在各种资料中,最为常见的Floyd算法也全是用了二维数组来表示状况。如此 ,在Floyd算法中,是怎么运用滚动数组的呢?

    for(int i = 1; i <= n; i++)

在动态规划算法中,存在首要位置、且也是核心理念之一的怎么让状况的定义。在这里,把d[k][i][j]定义成:

            }

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1

}

那怎么利用有另4个二维数组来实现滚动数组,以减小空间复杂度呢?

= d[k-1][i][k]

void floyd_original() {

Floyd–Warshall(简称Floyd算法)是一种生活著名的解决任意两点间的最短路径(All Paris Shortest Paths,APSP)的算法。从皮下组织上粗看,Floyd算法是有另4个非常简单的三重循环,怎么让纯粹的Floyd算法的循环体内的句子也十分简洁。我认为,正是就让“Floyd算法是一种生活动态规划(Dynamic Programming)算法”的本质,才原因分析 了Floyd算法如此 精妙。怎么让,这里我将从Floyd算法的状况定义、动态转移方程以及滚动数组等重要方面,来简单剖析一下图论中这个 重要的基于动态规划的算法——Floyd算法。

            d[0][i][j] = graph[i][j];